Bestämma intervallet för en matris

Omfånget för en matris hänvisar till spännvidden för alla möjliga linjära kombinationer av dess kolumner. Den representerar mängden av alla vektorer som kan skapas genom att multiplicera matrisen med vilken vektor som helst med lämpliga dimensioner.

Beräkna intervallet

Representera matrisen: Börja med en matris, betecknad som A, med m rader och n kolumner.
Kolumnutrymme: Omfånget för A är ekvivalent med kolumnutrymmet för A. Detta är delutrymmet som spänner över av kolumnvektorerna för A.
Radminskning: Utför radreduktion (gaussisk eliminering) på matrisen A för att få dess radechelonform.
Identifiera pivotkolumner: Identifiera pivotkolumnerna i radechelonformen. Det här är kolumnerna som innehåller de inledande 1:orna.
Räckviddsbas: Kolumnerna i den ursprungliga matrisen A som motsvarar pivotkolumnerna utgör en grund för intervallet A.
Fastställ intervallet: Räckvidden är intervallet för denna bas.

Om matrisen är nollmatrisen består dess område endast av nollvektorn.

Räckviddsdimension och rangordning

Omfångets dimension kallas matrisens rangordning. Rangen indikerar antalet linjärt oberoende kolumner (eller rader) i matrisen.

Metoder för att bestämma intervall

Metod	Komplexitet	Tillämpning	Utdata
Radminskning	O(min(m,n)²)	Allmänna matriser	Basvektorer för intervallet
Singular Value Decomposition (SVD)	O(min(m,n)²) - O(min(m,n)³)	Stora, potentiellt dåligt konditionerade matriser	Rang och ortonormal bas
Direkt kolumnrumsanalys	Variabel	Små matriser, enkla strukturer	Basvektorer (om lätt identifierbara)

Att förstå räckvidden för en matris är avgörande i linjär algebra för att lösa linjära ekvationssystem, bestämma existensen och unika lösningar för lösningar och analysera egenskaperna hos linjära transformationer.